Родился Алексей Бестолков 14 июля 1921 года в деревне Горловка Петровского района Тамбовской области.
Первое своё профессиональное образование юноша получил в Мичуринском педагогическом училище. По его окончании, в 1939 году, он работал по распределению учителем третьего класса в Семёновской неполной средней школе Избердеевского района. Также Алексей Яковлевич преподавал ребятам и естествознание. А было ему тогда всего восемнадцать лет.
Вскоре Алексея мобилизовали в ряды Красной армии, где молодого бойца и застала война. Дивизия ПВО, в которую входил и его полк воздушного наблюдения, оповещения и связи (ВНОС), встала на защиту города Киева от воздушного нападения.
– Первые дни войны для нас были тревожными, – записал в своих мемуарах о службе в армии и начале войны Алексей. – Каждый думал, что же будет дальше? Многие из нас были уверены, что война долго не продлится, что в скором времени враг будет разбит. А то, что в первые дни фашистской оккупации враг занял ряд городов и населённых пунктов, объясняли внезапностью нападения, сосредоточением многочисленной армии в момент наступления. Думали, что через несколько дней, недель, когда наши войска с востока перебазируются на запад, движение немцев остановится, и успех будет на стороне Красной армии.
Так мы думали, но на деле всё было иначе... Ежедневно Совинформбюро сообщало по радио об оставлении нашими войсками городов и населённых пунктов... Над Черниговом, в котором я тогда служил, проносились десятки немецких эскадрилий, с фронта прибывали раненые бойцы, они-то и вносили своими рассказами страшную, мрачную ясность об идущих на фронтах боях. Враг оказался силён и вооружён первоклассной техникой...
Но тревожные дни сменялись напряжённой работой на радиостанции. Теперь уже мало кто из бойцов думал о скорой победе. Фронтовая жизнь постепенно вошла в свою колею.
Алексей прошёл всю войну – с первого до последнего дня. С 1939 по 1943 год молодой боец служил Родине в звании рядового, а с 1943 по 1945 год – сержанта. В 1943 году он был назначен начальником радиостанции.
Алексею Яковлевичу командованием были объявлены благодарности за освобождение таких городов, как Киев, Белая Церковь, Звенигородка, Шпола, Смела, Богуслав, Канев, Могилёв-Подольский (Украина), Клуж (Румыния), Сегед (Венгрия) и других.
Сержант Бестолков за доблестную и примерную службу награждён орденами Славы III степени, Отечественной войны II степени и Красной Звезды, а также медалями «За Победу над Германией в Великой Отечественной войне», «За освобождение Праги», «За взятие Будапешта», «За взятие Вены» и «За отвагу».
По окончании войны Алексей Яковлевич продолжил образование, в 1949 году заочно окончив Мичуринский государственный учительский институт по специальности история, а в 1952 году получив диплом в Тамбовском государственном педагогическом институте.
Много лет проработал учителем истории, а затем завучем и директором мичуринской вечерней школы № 1. Умер 17 января 1989 года. Похоронен на городском кладбище. В апреле 2015 года дочери героя с портретом отца впервые прошли в колонне «Бессмертного полка».